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# Autocovariance

In statistics, given a real stochastic process "X"("t"), the autocovariance is simply the covariance of the signal against a time-shifted version of itself. If each state of the series has a mean, E ["X""t"] = &mu;"t", then the autocovariance is given by

:$, K_mathrm\left\{XX\right\} \left(t,s\right) = E \left[\left(X_t - mu_t\right)\left(X_s - mu_s\right)\right] = E \left[X_tcdot X_s\right] -mu_tcdotmu_s.,$

where E is the expectation operator.

Stationarity

If "X"("t") is wide sense stationary then the following conditions are true:

:$mu_t = mu_s = mu ,$ for all "t", "s"

and

:$K_mathrm\left\{XX\right\}\left(t,s\right) = K_mathrm\left\{XX\right\}\left(s-t\right) = K_mathrm\left\{XX\right\}\left( au\right) ,$

where

:$au = s - t ,$

is the lag time, or the amount of time by which the signal has been shifted.

As a result, the autocovariance becomes

:$, K_mathrm\left\{XX\right\} \left( au\right) = E \left\{ \left(X\left(t\right) - mu\right)\left(X\left(t+ au\right) - mu\right) \right\}$

::::$= E \left\{ X\left(t\right)cdot X\left(t+ au\right) \right\} -mu^2,,$

::::$= R_mathrm\left\{XX\right\}\left( au\right) - mu^2,,$

where "R"XX represents the autocorrelation, in the signal processing sense.

Normalization

When normalized by dividing by the variance &sigma;2 then the autocovariance becomes the autocorrelation coefficient &rho;. That is

:$ho_mathrm\left\{XX\right\}\left( au\right) = frac\left\{ K_mathrm\left\{XX\right\}\left( au\right)\right\}\left\{sigma^2\right\}.,$

Note, however, that some disciplines use the terms autocovariance and autocorrelation interchangeably.

The autocovariance can be thought of as a measure of how similar a signal is to a time-shifted version of itself with an autocovariance of &sigma;2 indicating perfect correlation at that lag. The normalisation with the variance will put this into the range [−1, 1] .

* Autocorrelation

References

* P. G. Hoel (1984): Mathematical Statistics, New York, Wiley

* [http://w3eos.whoi.edu/12.747/notes/lect06/l06s02.html Lecture notes on autocovariance from WHOI]

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